设一周内发生故障的次数为 $N$。由于每天独立且故障概率为 $0.2$，有 $N\sim \mathrm{Bin}(5,0.2)$。

各情形的概率为 $P(N=0)=0.8^5=0.32768$，$P(N=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)(0.2)(0.8{)}^4=0.4096$，$P(N=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(0.2{)}^2(0.8{)}^3=0.2048$。因此 $P(N\ge 3)=1-0.32768-0.4096-0.2048=0.05792$。

以万元为单位，利润期望为

代入得

因此一周内期望利润为 $5.20896$ 万元。