真题库

在区间$(-\infty ,+\infty )$内，方程$|x{|}^{\frac{1}{4}}+|x{|}^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$（　　）。

设$A,B$为任意两个事件，且$A\subset B,P(B)>0$，则下列选项必然成立的是（　　）。

设$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，$g(x)<f(x)<m$（$m$为常数）。由曲线$y=g(x),y=f(x),x=a,x=b$所围平面图形绕直线$y=m$旋转而成的旋转体体积为（　　）。

已知$0<P(B)<1$且$P[(A_1+A_2)\mid B]=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B)$，则下列选项成立的是（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$g(x)$有二阶连续导数，且$g(0)=1,g^{\prime }(0)=-1$。完成下列各问：

计算${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-2x}}\mathrm{d}x$。

设$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，求$\frac{x}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+\frac{y}{x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。

设函数$z=f(u)$，方程$u=\phi (u)+{\int }_y^{x}p(t)\mathrm{d}t$确定$u$是$x,y$的函数，其中$f(u),\phi (u)$可微，$p(t),{\phi }^{\prime }(u)$连续，且${\phi }^{\prime }(u)\ne 1$。求$p(y)\frac{\partial z}{\partial x}+p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$。

计算${\int }_0^{+\infty }\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{t}f(u^2)\mathrm{d}u\\ y=[f(t^2){]}^2\end{array}$，其中$f(u)$具有二阶导数，且$f(u)\ne 0$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

求函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$在$x=0$点处带拉格朗日型余项的$n$阶泰勒展开式。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上可微，且满足条件$f(1)=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}xf(x)\mathrm{d}x$。试证：存在$\xi \in (0,1)$使$f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$。

设某种商品的单价为$p$时，售出的商品数量$Q=\frac{a}{p+b}-c$，其中$a,b,c$均为正数，且$a>bc$。完成下列各问：

已知一抛物线通过$x$轴上的两点$A(1,0),B(3,0)$，且其轴平行于$y$轴。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^2$的通解。

求微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$的通解。

设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为$2a,2b$，用过此柱体底面的短轴与底面成$\alpha$角（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）的平面截此柱体，得一楔形体（见图）。求此楔形体的体积$V$。

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(b)$。求证：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_3+3x_4=0\\ 2x_1+x_2-6x_3+4x_4=-1\\ 3x_1+2x_2+p{x}_3+7x_4=-1\\ x_1-x_2-6x_3-x_4=t\end{array}$，完成下列各问：