真题库

设$u_n=(-1{)}^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{n}})$，则级数（　　）。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+a_{11}& a_{32}+a_{12}& a_{33}+a_{13}\end{array}\right)$，$P_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，则必有（　　）。

设$u=f(x,y,z),\phi (x^2,{\mathrm{e}}^y,z)=0,y=\sin x$，其中$f,\phi$都具有一阶连续偏导数，且$\frac{\partial \phi }{\partial z}\ne 0$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，并设${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=A$，求${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f(x)f(y)\mathrm{d}y$。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }z\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$在柱体$x^2+y^2\le 2x$内的部分。

将函数$f(x)=x-1$（$0\le x\le 2$）展开成周期为$4$的余弦级数。

设曲线$L$位于$xOy$平面的第一象限内，$L$上任一点$M$处的切线与$y$轴总相交，交点记为$A$。已知$|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$，且$L$过点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，求$L$的方程。

设函数$Q(x,y)$在$xOy$平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分${\int }_{L}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$与路径无关，并且对任意$t$恒有${\int }_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$，求$Q(x,y)$。

假设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上存在二阶导数，并且$g^{\prime \prime }(x)\ne 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$。试证：

设三阶实对称矩阵$A$的特征值为${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$，对应于${\lambda }_1$的特征向量为${\xi }_1=(0,1,1{)}^T$，求$A$。

设$A$是$n$阶矩阵，满足$A{A}^T=E$（$E$是$n$阶单位阵，$A^T$是$A$的转置矩阵），$|A|<0$，求$|A+E|$。

设$X$表示$10$次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为$0.4$，则$E(X^2)=$ 。

设$X,Y$为两个随机变量，且$P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{3}{7},P\{X\ge 0\}=P\{Y\ge 0\}=\frac{4}{7}$，则$P\{\max (X,Y)\ge 0\}=$ 。

设随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，求随机变量$Y={\mathrm{e}}^X$的概率密度$f_Y(y)$。

求曲面$z=\frac{x^2}{2}+y^2$平行于平面$2x+2y-z=0$的切平面方程。

计算二重积分${\iint }_D{x}^{2}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由双曲线$x^2-y^2=1$及直线$y=0,y=1$所围成的平面区域。

设方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+2x_3+x_4=1\\ x_2+a{x}_3-a{x}_4=-1\\ x_1+2x_2+3x_4=3\end{array}$。

设$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{1+x}{x}{)}^{ax}={\int }_{-\infty }^{a}t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$，则常数$a=$ 。

设$y=\cos (x^2){\sin }^2\frac{1}{x}$，则$y^{\prime }=$ 。

设$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$，则$f^{(n)}(x)=$ 。