1996 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为

λ > 0

的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。求电路正常工作的时间

T

的概率分布。

答案

$T \sim Exp (3 λ)$ ，其分布函数为 $F_{T} (t) = {0, 1 - e^{- 3 λ t}, t < 0, t \geq 0.$

设三个元件的无故障工作时间为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 。电路在第一个元件发生故障时停止正常工作，故

T = min (T_{1}, T_{2}, T_{3}) .

当 $t \geq 0$ 时，利用独立性，

P (T > t) = P (T_{1} > t, T_{2} > t, T_{3} > t) = \prod_{i = 1}^{3} P (T_{i} > t) = (e^{- λ t})^{3} = e^{- 3 λ t} .

因此

F_{T} (t) = P (T \leq t) = {0, 1 - e^{- 3 λ t}, t < 0, t \geq 0.

所以 $T$ 服从参数为 $3 λ$ 的指数分布。