将 $f$ 对两个位置的偏导记为 $f_1,f_2$。由 $\mathrm{d}f(0,0)=\pi \mathrm{d}x+3\mathrm{d}y$，得 $f_1(0,0)=\pi$、$f_2(0,0)=3$。
令 $u(x)=\ln x$、$v(x)=\sin \pi x$，则 $u(1)=v(1)=0$；内层导数为 $u^{\prime }(1)=1$、$v^{\prime }(1)=\pi \cos \pi =-\pi$。
因 $f$ 可微，由链式法则，$g^{\prime }(x)=f_1(u,v)u^{\prime }(x)+f_2(u,v)v^{\prime }(x)$，所以

求 $\sin \pi x$ 的导数时既要保留因子 $\pi$，也要注意 $\cos \pi =-1$。

由一阶微分形式不变性，沿曲线 $(u,v)=(\ln x,\sin \pi x)$，有 $\mathrm{d}g=f_1\mathrm{d}u+f_2\mathrm{d}v$。在 $x=1$ 处，$(u,v)=(0,0)$、$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}v=-\pi \mathrm{d}x$。代入已知全微分，得 $\mathrm{d}g=(\pi -3\pi )\mathrm{d}x=-2\pi \mathrm{d}x$，故 $g^{\prime }(1)=-2\pi$。