记柱面半径 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，两曲面交线满足 $r=\sqrt{4-r^2}$，得 $r=z=\sqrt{2}$。区域在球面以下、圆锥以上，可写为 $r\le z\le \sqrt{4-r^2}$。
用球坐标 $x=\rho \sin \phi \cos \theta$、$y=\rho \sin \phi \sin \theta$、$z=\rho \cos \phi$，其中 $\phi$ 是与 $z$ 轴正向的夹角。球面给出 $0\le \rho \le 2$；锥内条件 $z\ge \sqrt{x^2+y^2}$ 给出 $0\le \phi \le \frac{\pi }{4}$；绕轴一周为 $0\le \theta \le 2\pi$。体积元是 ${\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$，所以

将球半径 $\rho$ 改记为选项中的 $r$，即选项 C。
正确的柱面坐标表达式为

A 把柱面半径上限写成 $2$；当 $\sqrt{2}<r\le 2$ 时，上下限颠倒，额外引入反向积分，一般不等于所求。B 把 $z$ 的下限写成 $0$，多算锥面下方的部分。D 把球坐标角 $\phi$ 上限写成 $\frac{\pi }{2}$，算成整个上半球，也多算了锥外部分。取 $f=1$ 即可看到这三项均与原体积不同。