（1）证明 $A$ 可逆。若 $r(A)=2$，由三阶伴随矩阵的秩公式，$r(A^{\ast })=1$，但 $A^{\ast }=-2A$ 又给出 $r(A^{\ast })=r(A)=2$，矛盾。若 $r(A)\le 1$，则所有二阶子式为零，故 $A^{\ast }=O$，由 $A^{\ast }=-2A$ 得 $A=O$，与非零条件矛盾。因此 $r(A)=3$，$|A|\ne 0$。

（2）确定行列式。对 $A^{\ast }=-2A$ 两边取行列式，三阶时 $|A^{\ast }|=|A{|}^2$，而 $|-2A|=(-2{)}^3|A|=-8|A|$，故 $|A{|}^2=-8|A|$。因 $|A|\ne 0$，得到 $|A|=-8$。

（3）求平方。将 $A^{\ast }=-2A$ 代入 $A{A}^{\ast }=|A|E$，得 $-2A^2=-8E$，所以 $A^2=4E$，选 D。该条件确可实现，例如 $A=\mathrm{diag}(2,2,-2)$，其伴随矩阵为 $\mathrm{diag}(-4,-4,4)=-2A$，且平方为 $4E$。