特征方程为 $r^2+2r+5=0$，根为 $r=-1\pm 2\mathrm{i}$，所以通解为

求导得

代入初值，$C_1=1$、$-C_1+2C_2=-1$，解得 $C_2=0$，故 $f(x)=e^{-x}\cos 2x$。此时 $f^{\prime }=e^{-x}(-\cos 2x-2\sin 2x)$，$f^{\prime \prime }=e^{-x}(-3\cos 2x+4\sin 2x)$，代回方程确为零，且两初值均满足。

先求原函数。记 $I=\int e^{-x}\cos 2x\mathrm{d}x$、$J=\int e^{-x}\sin 2x\mathrm{d}x$，略去积分常数，两次分部积分给出

代入消去 $J$，得 $5I=e^{-x}(2\sin 2x-\cos 2x)$。因此一个原函数为 $F(x)=\frac{e^{-x}(2\sin 2x-\cos 2x)}{5}$。
由于 $|f(x)|\le e^{-x}$，而 ${\int }_{n\pi }^{\infty }{e}^{-x}\mathrm{d}x<\infty$，每个 $a_n$ 都是绝对收敛的反常积分。$F(x)\to 0$，且 $\sin 2n\pi =0$、$\cos 2n\pi =1$，故

这是首项 $\frac{e^{-\pi }}{5}$、公比 $q=e^{-\pi }\in (0,1)$ 的等比数列，于是