（1）由 ${\alpha }_4={\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3$，且前三列线性无关，得 $r(A)=3$。$A$ 有四列，故齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为 $4-3=1$。
（2）将已知关系移项，得 ${\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3-{\alpha }_4=0$，因此 $\xi =(1,1,-1,-1{)}^T$ 是齐次方程组的非零解。解空间维数为 $1$，所以 $\xi$ 构成基础解系。
（3）右端 ${\alpha }_1+4{\alpha }_4$ 已是列向量的线性组合，直接得到特解 $\eta =(1,0,0,4{)}^T$。故通解为

代入后，$Ax={\alpha }_1+4{\alpha }_4+k({\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3-{\alpha }_4)={\alpha }_1+4{\alpha }_4$。齐次解已取遍一维解空间，所以没有遗漏。换用别的特解或 $\xi$ 的任意非零倍数，也得到同一解集。