1993 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

已知

y = f (\frac{3 x - 2}{3 x + 2})

，

f^{'} (x) = arctan x^{2}

，则

\frac{d y}{d x} ∣_{x = 0} =

。

答案

$\frac{3 π}{4}$

令 $u = \frac{3 x - 2}{3 x + 2}$ ，则 $u^{'} = \frac{12}{( 3 x + 2 ) ^{2}}$ 。由链式法则， $y^{'} = f^{'} (u) u^{'}$ 。

在 $x = 0$ 时， $u = - 1$ 、 $u^{'} = 3$ ，而 $f^{'} (- 1) = arctan 1 = \frac{π}{4}$ ，故 $y^{'} (0) = \frac{3 π}{4}$ 。