2026 · 数学一 · 第 16 题 · 填空题

设

X \sim P (1), Y \sim P (3)

，且

X

与

Y - X

相互独立，则

E (X Y) =

。

答案

$4$

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令 $Z = Y - X$ ，则 $Y = X + Z$ ，且题设给出 $X$ 与 $Z$ 独立。由泊松分布的均值和方差，

E (X) = 1, E (Y) = 3, E (Z) = 2, E (X^{2}) = 1 + 1^{2} = 2.

独立性给出 $E (X Z) = E (X) E (Z) = 2$ ，故

E (X Y) = E [X (X + Z)] = E (X^{2}) + E (X Z) = 2 + 2 = 4.

这里只需 $Z$ 的期望，不必先求它的分布。

由 $X$ 与 $Y - X$ 独立，协方差为零，故

0 = Cov (X, Y - X) = Cov (X, Y) - Var (X) .

所以 $Cov (X, Y) = 1$ ，再由协方差定义，

E (X Y) = Cov (X, Y) + E (X) E (Y) = 1 + 1 \cdot 3 = 4.