2026 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

X

、

Y

独立同分布，且密度

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}, 0, x > 0 x \leq 0

，则

P {X Y \leq 1} =

（　　）。

答案

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对 $x > 0$ ，共同分布函数为

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} d t = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} .

又 $X, Y > 0$ 几乎必然成立。固定 $X = x > 0$ ，事件 $X Y \leq 1$ 等价于 $Y \leq \frac{1}{x}$ 。利用独立同分布，

P {X Y \leq 1} = \int_{0}^{+ \infty} F (\frac{1}{x}) f (x) d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{1 + x} \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} d x = [- \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}}]_{0}^{+ \infty} = \frac{1}{2} .

其中 $F (\frac{1}{x}) = \frac{( \frac{1}{x} )}{( 1 + \frac{1}{x} )} = \frac{1}{( 1 + x )}$ ，故选 B。

令 $U = \frac{1}{( 1 + X )}, V = \frac{1}{( 1 + Y )}$ 。对 $0 < u < 1$ ，

P {U \leq u} = P {X \geq \frac{1}{u} - 1} = 1 - F (\frac{1}{u} - 1) = u .

所以 $U, V$ 都服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布，且仍独立。由 $X = \frac{( 1 - U )}{U}, Y = \frac{( 1 - V )}{V}$ 以及 $U V > 0$ ，

X Y \leq 1 ⟺ (1 - U) (1 - V) \leq U V ⟺ U + V \geq 1.

该事件在单位正方形中占一半面积，概率为 $\frac{1}{2}$ 。注意 $X Y \leq 1$ 不等价于 $X \leq 1$ 或 $Y \leq 1$ ，不能按两个事件的并来计算。