斯托克斯公式。取平面 $z=x+y$ 上以 $L$ 为边界的椭圆盘 $\Sigma$，其投影为单位圆盘 $D:x^2+y^2\le 1$。从上往下看 $L$ 为逆时针，按右手法则，$\Sigma$ 取上侧。
向量场 $\mathbf{F}=(xz,x,\frac{y^2}{2})$ 光滑，旋度为

平面的有向面积元为 $\mathbf{n}\mathrm{d}S=(-1,-1,1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，故

圆盘关于两坐标轴均对称，$x,y$ 两项的积分均为零，所以 $I$ 等于圆盘面积 $\pi$。

直接参数化。取 $x=\cos t,y=\sin t,z=\cos t+\sin t$，$0\le t\le 2\pi$，其投影沿单位圆逆时针，符合题设方向。于是 $\mathrm{d}x=-\sin t\mathrm{d}t$、$\mathrm{d}y=\cos t\mathrm{d}t$、$\mathrm{d}z=(\cos t-\sin t)\mathrm{d}t$。代入并合并同类项：
令 $g(t)={\cos }^{2}t-{\cos }^{2}t\sin t-\frac{1}{2}\cos t{\sin }^{2}t-\frac{1}{2}{\sin }^{3}t$，则

其中 ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=\pi$；${\cos }^{2}t\sin t$、$\cos t{\sin }^{2}t$ 分别可由 ${\cos }^{3}t$、${\sin }^{3}t$ 的端点值得出积分为零，${\sin }^{3}t$ 在两个半周期的积分相消。因此 $I=\pi$。