令 $F(x,y)=x^2+2\sqrt{3}xy+y^2-1$。点 $(0,1)$ 在曲线上，且 $F_y(0,1)=2\ne 0$，因此该点附近可将 $y$ 看作 $x$ 的二阶可导函数。
对原方程求导并除以 $2$，得到

代入 $x=0,y=1$，得 $y^{\prime }=-\sqrt{3}$。再对上面的函数恒等式求导，得

代入该点及 $y^{\prime }=-\sqrt{3}$，得到 $1-6+3+y^{\prime \prime }=0$，故 $y^{\prime \prime }=2$。曲率半径为

把原方程看成关于 $y$ 的二次方程，解得 $y=-\sqrt{3}x\pm \sqrt{1+2x^2}$。过 $(0,1)$ 的是正号分支，即 $y=-\sqrt{3}x+\sqrt{1+2x^2}$，它在 $0$ 附近光滑。
由 $\sqrt{1+2x^2}=1+x^2+o(x^2)$，得 $y=1-\sqrt{3}x+x^2+o(x^2)$，故 $y^{\prime }(0)=-\sqrt{3}$、$y^{\prime \prime }(0)=2$。于是曲率半径为 $R=\frac{[1+(-\sqrt{3}{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{2}=4$。