分母配方为 $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4$，分子写成 $x+5=\frac{1}{2}(2x-6)+8$。

于是

$$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+8\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-3{)}^2+4}.$$

最后一个积分等于 $\frac{1}{2}\arctan \frac{x-3}{2}$，故原积分为

$$\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+4\arctan \left(\frac{x-3}{2}\right)+C.$$