真题库

设$A$为$m$阶实对称正定矩阵，$B$为$m\times n$实矩阵，$B^T$为$B$的转置矩阵。证明：$B^{T}AB$为正定矩阵的充分必要条件是$r(B)=n$。

设随机变量$X,Y$相互独立。下表列出了二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律及关于$X,Y$的边缘分布律中的部分数值，将其余数值填入表中的空白处。表中行变量为$X$，列变量为$Y$：

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{6x}{{\theta }^3}(\theta -x),& 0<x<\theta \\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是取自总体$X$的简单随机样本。完成下列各问：

曲线$\{\begin{array}{l}x={\mathrm{e}}^t\sin 2t,\\ y={\mathrm{e}}^t\cos t\end{array}$在点$(0,1)$处的法线方程为 。

设函数$y=y(x)$由方程$\ln (x^2+y)=x^{3}y+\sin x$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}\mathrm{d}x=$ 。

函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$在区间$[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$上的平均值为 。

设$\alpha (x)={\int }_0^x{\sin }^{5}t\mathrm{d}t$，$\beta (x)=\frac{1}{5}{\int }_0^x\frac{t^5}{1+\sin t}\mathrm{d}t$，则当$x\to 0$时，$\alpha (x)$是$\beta (x)$的（　　）。

“对任意给定的$\epsilon \in (0,1)$，总存在正整数$N$，当$n\ge N$时，恒有$|x_n-a|\le 2\epsilon$”是数列$\{x_n\}$收敛于$a$的（　　）。

记行列式$\left|\begin{array}{cccc}x-2& x-1& x-2& x-3\\ 2x-2& 2x-1& 2x-2& 2x-3\\ 3x-3& 3x-2& 4x-5& 3x-5\\ 4x& 4x-3& 5x-7& 4x-3\end{array}\right|$为$f(x)$，则方程$f(x)=0$的根的个数为（　　）。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln (1+x)-x^2}$。

计算${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x$。

求初值问题$\{\begin{array}{l}(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0,x>0,\\ y{|}_{x=1}=0\end{array}$的解。

已知函数$y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$。

设函数$f(x)$在闭区间$[-1,1]$上具有三阶连续导数，且$f(-1)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0$。证明在开区间$(-1,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上单调减少且非负的连续函数，$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x(n=1,2,\dots )$。证明数列$\{a_n\}$的极限存在。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$，矩阵$X$满足$A^{\ast }X=A^{-1}+2X$，其中$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，求矩阵$X$。

设向量组${\alpha }_1=(1,1,1,3{)}^T,{\alpha }_2=(-1,-3,5,1{)}^T,{\alpha }_3=(3,2,-1,p+2{)}^T,{\alpha }_4=(-2,-6,10,p{)}^T$。

设$f(x)$有一个原函数$\frac{\sin x}{x}$，则${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$），则$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\ln [f(1)f(2)\cdots f(n)]=$ 。