真题库

$\sum _{n=1}^{\infty }n(\frac{1}{2}{)}^{n-1}=$ 。

设$f(x,y,z)={\mathrm{e}}^{x}y{z}^2$，其中$z=z(x,y)$是由$x+y+z+xyz=0$确定的隐函数，则$f_x^{\prime }(0,1,-1)=$ 。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，而$n\ge 2$为整数，则$A^n-2A^{n-1}=$ 。

已知$AB-B=A$，其中$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则$A=$ 。

在天平上重复称量一重为$a$的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布$N(a,0.2^2)$。若以${\overline{X}}_n$表示$n$次称量结果的算术平均值，则为使$P\{|{\overline{X}}_n-a|<0.1\}\ge 0.95$，$n$的最小值应不小于自然数 。

设随机变量$X_{ij}(i,j=1,2,\dots ,n;n\ge 2)$独立同分布，$E(X_{ij})=2$，则行列式$Y=\left|\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& \cdots & X_{1n}\\ X_{21}& X_{22}& \cdots & X_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ X_{n1}& X_{n2}& \cdots & X_{nn}\end{array}\right|$的数学期望$E(Y)=$ 。

设$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且已知$E[(X-1)(X-2)]=1$，则$\lambda =$ 。

设$f(x,y)$连续，且$f(x,y)=xy+{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，其中$D$是由$y=0,y=x^2,x=1$所围成的区域，则$f(x,y)$等于（　　）。

设向量$\beta$可由向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$线性表示，但不能由向量组（I）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{m-1}$线性表示。记向量组（II）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{m-1},\beta$，则（　　）。

设$A,B$为$n$阶矩阵，且$A$与$B$相似，$E$为$n$阶单位矩阵，则（　　）。

设随机变量$X$和$Y$的方差存在且不等于$0$，则$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$是$X$和$Y$（　　）。

设随机变量$X_i\sim \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)(i=1,2)$，且满足$P\{X_1{X}_2=0\}=1$，则$P\{X_1=X_2\}$等于（　　）。

设$X$服从指数分布，则$Y=\min \{X,2\}$的分布函数（　　）。

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

计算二重积分${\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由直线$x=-2,y=0,y=2$以及曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$所围成的平面区域。

设生产某种产品必须投入两种要素，$x_1,x_2$分别为两要素的投入量，$Q$为产出量。若生产函数为$Q=2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }$，其中$\alpha ,\beta$为正常数，且$\alpha +\beta =1$。假设两种要素的价格分别为$p_1,p_2$，当产出量为$12$时，求使投入总费用最小的两要素投入量。

设有微分方程$y^{\prime }-2y=\phi (x)$，其中$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}2,& x<1,\\ 0,& x>1.\end{array}$试求在$(-\infty ,+\infty )$内的连续函数$y=y(x)$，使之在$(-\infty ,1)$和$(1,+\infty )$内都满足所给方程，且满足条件$y(0)=0$。

设$F(x)$为$f(x)$的原函数，且当$x\ge 0$时，$f(x)F(x)=\frac{x{\mathrm{e}}^x}{2(1+x{)}^2}$。已知$F(0)=1$，$F(x)>0$，试求$f(x)$。

设函数$f(x)$连续，且${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\arctan x^2$。已知$f(1)=1$，求${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$的值。

已知$f(x)$连续，${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=1-\cos x$，求${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x$的值。