真题库

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$。完成下列证明：

证明：当$0<x<\pi$时，有$\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi }$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -k& -1& k\\ 4& 2& -3\end{array}\right)$。问：当$k$为何值时，存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵？并求出$P$和相应的对角矩阵。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0,\\ a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ a^2{x}_1+b^2{x}_2+c^2{x}_3=0.\end{array}$完成下列各问：

设$A$为$m\times n$实矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。已知矩阵$B=\lambda E+A^{T}A$，试证：当$\lambda >0$时，矩阵$B$为正定矩阵。

假设二维随机变量$(X,Y)$在矩形$G=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$上服从均匀分布。记$U=\{\begin{array}{ll}0,& X\le Y,\\ 1,& X>Y;\end{array}V=\{\begin{array}{ll}0,& X\le 2Y,\\ 1,& X>2Y.\end{array}$

设二维随机变量$(X,Y)$在矩形$G=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$上服从均匀分布，试求边长为$X$和$Y$的矩形面积$S$的概率密度$f(s)$。

设$X_1,X_2,\dots ,X_9$是来自正态总体$X$的简单随机样本，$Y_1=\frac{1}{6}(X_1+X_2+\cdots +X_6)$，$Y_2=\frac{1}{3}(X_7+X_8+X_9)$，$S^2=\frac{1}{2}\sum _{i=7}^9(X_i-Y_2{)}^2$，$Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S}$。证明统计量$Z$服从自由度为$2$的$t$分布。

已知随机变量$X_1$和$X_2$的概率分布如下表，且$P\{X_1{X}_2=0\}=1$。完成下列各问：

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$ 。

设$z=\frac{1}{x}f(xy)+y\phi (x+y)$，$f,\phi$具有二阶连续导数，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=$ 。

设$L$为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其周长记为$a$，则${\oint }_L(2xy+3x^2+4y^2)\mathrm{d}s=$ 。

设$A$为$n$阶矩阵，$|A|\ne 0$，$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。若$A$有特征值$\lambda$，则$(A^{\ast }{)}^2+E$必有特征值 。

设平面区域$D$由曲线$y=\frac{1}{x}$及直线$y=0,x=1,x={\mathrm{e}}^2$所围成，二维随机变量$(X,Y)$在区域$D$上服从均匀分布，则$(X,Y)$关于$X$的边缘概率密度在$x=2$处的值为 。

设$f(x)$连续，则$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)\mathrm{d}t=$（　　）。

函数$f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|$不可导点的个数是（　　）。

已知函数$y=y(x)$在任意点$x$处的增量$\Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha$，且当$\Delta x\to 0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，$y(0)=\pi$，则$y(1)$等于（　　）。

设矩阵$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)$是满秩的，则直线$\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$与直线$\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$（　　）。

设$A,B$是两个随机事件，且$0<P(A)<1,P(B)>0,P(B\mid A)=P(B\mid \overline{A})$，则必有（　　）。

设直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$，平面$\Pi :x-y+2z-1=0$。完成下列各问：