1999 · 数学三 · 第 1 题 · 填空题

设函数

f (x) = a^{x}

（

a > 0, a \neq = 1

），则

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} ln [f (1) f (2) \dots f (n)] =

。

答案

$\frac{1}{2} ln a$

由 $f (k) = a^{k}$ ，有

f (1) f (2) \dots f (n) = a^{1 + 2 + \dots + n} = a^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} .

因此

\frac{1}{n ^{2}} ln [f (1) f (2) \dots f (n)] = \frac{n + 1}{2 n} ln a ⟶ \frac{1}{2} ln a .