真题库

假设$0.50,1.25,0.80,2.00$是来自总体$X$的简单随机样本值。已知$Y=\ln X$服从正态分布$N(\mu ,1)$，记$b=E(X)$。

设$A,B$是两个随机事件；随机变量$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若 }A\text{ 出现},\\ -1,& \text{若 }A\text{ 不出现}\end{array}$，$Y=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若 }B\text{ 出现},\\ -1,& \text{若 }B\text{ 不出现}\end{array}$。证明随机变量$X$和$Y$不相关的充分必要条件是$A$与$B$相互独立。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x})=$ 。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin ((x-t{)}^2)\mathrm{d}t=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }-4y={\mathrm{e}}^{2x}$的通解为$y=$ 。

设$n$阶矩阵$A$的元素全为$1$，则$A$的$n$个特征值是 。

设两两相互独立的三个事件$A,B,C$满足$ABC=\varnothing$，$P(A)=P(B)=P(C)<\frac{1}{2}$，$P(A\cup B\cup C)=\frac{9}{16}$，则$P(A)=$ 。

设$f(x)$是连续函数，$F(x)$是$f(x)$的原函数，则（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}},& x>0\\ x^{2}g(x),& x\le 0\end{array}$，其中$g(x)$是有界函数，则$f(x)$在$x=0$处（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le \frac{1}{2}\\ 2-2x,& \frac{1}{2}<x<1\end{array}$，$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，$-\infty <x<+\infty$，其中$a_n=2{\int }_0^{1}f(x)\cos n\pi x\mathrm{d}x(n=0,1,2,\dots )$，则$S(-\frac{5}{2})$等于（　　）。

设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，则（　　）。

设两个相互独立的随机变量$X,Y$分别服从正态分布$N(0,1)$和$N(1,1)$，则（　　）。

设$y=y(x),z=z(x)$是由方程$z=xf(x+y)$和$F(x,y,z)=0$所确定的函数，其中$f$和$F$分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

求$I={\int }_L({\mathrm{e}}^x\sin y-b(x+y))\mathrm{d}x+({\mathrm{e}}^x\cos y-ax)\mathrm{d}y$，其中$a,b$为正常数，$L$为从点$A(2a,0)$沿曲线$y=\sqrt{2ax-x^2}$到点$O(0,0)$的弧。

设函数$y(x)$（$x\ge 0$）二阶可导，且$y^{\prime }(x)>0,y(0)=1$。过曲线$y=y(x)$上任一点$P(x,y)$作该曲线的切线及$x$轴的垂线，上述两直线与$x$轴所围三角形的面积记为$S_1$，区间$[0,x]$上以$y=y(x)$为曲边的曲边梯形面积记为$S_2$。若$2S_1-S_2$恒为$1$，求曲线$y=y(x)$的方程。

证明：当$x>0$时，$(x^2-1)\ln x\ge (x-1{)}^2$。

为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。已知井深$30\mathrm{m}$，抓斗自重$400\mathrm{N}$，缆绳每米重$50\mathrm{N}$，抓斗抓起的污泥重$2000\mathrm{N}$，提升速度为$3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$；提升过程中，污泥以$20\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s}}$的速度从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？说明：$1\mathrm{N}\times 1\mathrm{m}=1\mathrm{J}$；抓斗高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

设$S$为椭球面$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$的上半部分，点$P(x,y,z)\in S$，$\pi$为$S$在点$P$处的切平面，$\rho (x,y,z)$为点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离，求${\iint }_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}\mathrm{d}S$。

设$a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{n}x\mathrm{d}x$。完成下列各问：

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)$，其行列式$|A|=-1$；又$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$有一个特征值${\lambda }_0$，属于${\lambda }_0$的一个特征向量为$\alpha =(-1,-1,1{)}^T$。求$a,b,c,{\lambda }_0$的值。