真题库

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& x\in [0,1],\\ \frac{2}{9},& x\in [3,6],\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。若$k$使得$P\{X\ge k\}=\frac{2}{3}$，则$k$的取值范围是 。

假设随机变量$X$在区间$[-1,2]$上服从均匀分布，随机变量$Y=\{\begin{array}{ll}1,& X>0,\\ 0,& X=0,\\ -1,& X<0\end{array}$，则方差$D(Y)=$ 。

设对任意的$x$，总有$\phi (x)\le f(x)\le g(x)$，且$\underset{x\to \infty }{\lim }[g(x)-\phi (x)]=0$，则$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$（　　）。

设函数$f(x)$在点$x=a$处可导，则函数$|f(x)|$在点$x=a$处不可导的充分条件是（　　）。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是四元非齐次线性方程组$AX=b$的三个解向量，且$r(A)=3$，${\alpha }_1=(1,2,3,4{)}^T$，${\alpha }_2+{\alpha }_3=(0,1,2,3{)}^T$，$c$表示任意常数，则线性方程组$AX=b$的通解$X=$（　　）。

设$A$为$n$阶实矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）$AX=0$和（Ⅱ）$A^{T}AX=0$，必有（　　）。

设$A,B,C$三个事件两两独立，则$A,B,C$相互独立的充分必要条件是（　　）。

在电炉上安装了$4$个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度$t_0$，电炉就断电。以$E$表示事件“电炉断电”，而$T_{(1)}\le T_{(2)}\le T_{(3)}\le T_{(4)}$为$4$个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件$E$等于事件（　　）。

已知$z=u^v$，$u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$，$v=\arctan \frac{y}{x}$，求$\mathrm{d}z$。

求微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-{\mathrm{e}}^{2x}=0$满足条件$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$的解。

计算二重积分${\iint }_D\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4a^2-x^2-y^2}}\mathrm{d}\sigma$，其中$D$是由曲线$y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$和直线$y=-x$围成的区域。

计算$I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{1+x}+{\mathrm{e}}^{3-x}}$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

设函数$y=(x-1){\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$。

设$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2}y,& 1\le x\le 2,0\le y\le x,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 2x\}$。

设$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^{n}x\cos x\mathrm{d}x,n=0,1,2,\dots$，求$\sum _{n=0}^{\infty }{I}_n$。

设向量组${\alpha }_1=(a,2,10{)}^T,{\alpha }_2=(-2,1,5{)}^T,{\alpha }_3=(-1,1,4{)}^T$，$\beta =(1,b,c{)}^T$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ x& 4& y\\ -3& -3& 5\end{array}\right)$，已知$A$有三个线性无关的特征向量，$\lambda =2$是$A$的二重特征值。试求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角形矩阵。

设有$n$元实二次型$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(x_1+a_1{x}_2{)}^2+(x_2+a_2{x}_3{)}^2+\cdots +(x_{n-1}+a_{n-1}{x}_n{)}^2+(x_n+a_n{x}_1{)}^2$，其中$a_i(i=1,2,\dots ,n)$为实数。试问：当$a_1,a_2,\dots ,a_n$满足何种条件时，二次型$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$为正定二次型？

设二维随机变量$(X,Y)$的密度函数为$f(x,y)=\frac{1}{2}[{\varphi }_1(x,y)+{\varphi }_2(x,y)]$，其中${\varphi }_1(x,y)$和${\varphi }_2(x,y)$都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为$\frac{1}{3}$和$-\frac{1}{3}$，它们的边缘密度对应的随机变量的数学期望都是$0$，方差都是$1$。