真题库

设函数$f(x)$满足关系式$f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=x$，且$f^{\prime }(0)=0$，则（　　）。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 6x+xf(x)}{x^3}=0$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6+f(x)}{x^2}$为（　　）。

具有特解$y_1={\mathrm{e}}^{-x},y_2=2x{\mathrm{e}}^{-x},y_3=3{\mathrm{e}}^x$的$3$阶常系数齐次线性微分方程是（　　）。

设$f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$，计算$\int f(x)\mathrm{d}x$。

设$xOy$平面上有正方形$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$及直线$l:x+y=t(t\ge 0)$。若$S(t)$表示正方形$D$位于直线$l$左下方部分的面积，试求${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t(x\ge 0)$。

求函数$f(x)=x^2\ln (1+x)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)(n\ge 3)$。

设函数$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$。

某湖泊的水量为$V$，每年排入湖泊内含污染物$A$的污水量为$\frac{V}{6}$，流入湖泊内不含$A$的水量为$\frac{V}{6}$，流出湖泊的水量为$\frac{V}{3}$。已知$1999$年底湖中$A$的含量为$5m_0$，超过国家规定指标。为了治理污染，从$2000$年初起，限定排入湖泊中含$A$污水的浓度不超过$\frac{m_0}{V}$。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物$A$的含量降至$m_0$以内？（注：设湖水中$A$的浓度是均匀的。）

已知$f(x)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是当$x\to 0$时比$x$高阶的无穷小，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

设$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$，$\gamma =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$，$A=\alpha {\beta }^T,B={\beta }^T\alpha$，其中${\beta }^T$是$\beta$的转置，求解方程$2B^2{A}^{2}x=A^{4}x+B^{4}x+\gamma$。

已知向量组${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}b\\ 1\\ 0\end{array}\right)$与向量组${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -7\end{array}\right)$具有相同的秩，且${\beta }_3$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，求$a,b$的值。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f,g$均可微，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

若$a>0$，$b>0$均为常数，则$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{a^x+b^x}{2}{)}^{\frac{3}{x}}=$ 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2-x}}=$ 。

设$\alpha =(1,0,-1{)}^T$，矩阵$A=\alpha {\alpha }^T$，$n$为正整数，则$\det (kE-A^n)=$ 。

若四阶矩阵$A$与$B$相似，矩阵$A$的特征值为$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，则$\det (B^{-1}-E)=$ 。

已知$4$阶矩阵$A$相似于$B$，$A$的特征值为$2,3,4,5$，$E$为$4$阶单位矩阵，则行列式$\det (B-E)=$ 。