真题库

设级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则必收敛的级数为（　　）。

设$n$维列向量组${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m(m<n)$线性无关，则$n$维列向量组${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$线性无关的充分必要条件为（　　）。

设二维随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，则随机变量$\xi =X+Y$与$\eta =X-Y$不相关的充分必要条件为（　　）。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})$。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f$具有二阶连续偏导数，$g$具有二阶连续导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

计算曲线积分$I={\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}$，其中$L$是以点$(1,0)$为中心、$R$为半径的圆周（$R>1$），取逆时针方向。

设对于半空间$x>0$内任意的光滑有向封闭曲面$S$，都有${\iint }_{S}xf(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-xyf(x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-{\mathrm{e}}^{2x}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，其中函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内具有连续的一阶导数，且$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$，求$f(x)$。

对于幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\frac{x^n}{n}$，完成下列各问：

设有一半径为$R$的球体，$P_0$是此球表面上的一个定点。球体上任一点的密度与该点到$P_0$距离的平方成正比（比例常数$k>0$），求球体的重心位置。

设函数$f(x)$在$[0,\pi ]$上连续，且${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0$，${\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x=0$。试证：在$(0,\pi )$内至少存在两个不同的点${\xi }_1,{\xi }_2$，使$f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$。

设矩阵$A$的伴随矩阵$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& -3& 0& 8\end{array}\right)$，且$AB{A}^{-1}=B{A}^{-1}+3E$，其中$E$为$4$阶单位矩阵，求矩阵$B$。

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将$\frac{1}{6}$熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐；新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有$\frac{2}{5}$成为熟练工。设第$n$年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为$x_n,y_n$，记成向量$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$。完成下列各问：

某流水生产线上每个产品不合格的概率为$p$（$0<p<1$），各产品合格与否相互独立。当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产产品的个数为$X$。完成下列各问：

设某种元件的使用寿命$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2(x-\theta )},& x\ge \theta ,\\ 0,& x<\theta .\end{array}$，其中$\theta >0$为未知参数，又设$x_1,x_2,\dots ,x_n$是$X$的一组样本观测值，求参数$\theta$的最大似然估计值。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{\ln (1+2x^3)}=$ 。

设函数$y=y(x)$由方程$2^{xy}=x+y$所确定，则$\mathrm{d}y{|}_{x=0}=$ 。

${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x+7)\sqrt{x-2}}=$ 。

曲线$y=(2x-1){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的斜渐近线方程为 。

设$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 3& 0& 0\\ 0& -4& 5& 0\\ 0& 0& -6& 7\end{array}\right)$，$E$为$4$阶单位矩阵，而且$B=(E+A{)}^{-1}(E-A)$，则$(E+B{)}^{-1}=$ 。

设函数$f(x)=\frac{x}{a+{\mathrm{e}}^{bx}}$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$，则常数$a,b$满足（　　）。