令 $t=\sqrt{x-2}$，则 $x=t^2+2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$。

原积分化为

$$\begin{array}{rl}2{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2+9}& =\frac{2}{3}{\left[\arctan \frac{t}{3}\right]}_0^{+\infty }\\ & =\frac{\pi }{3}.\end{array}$$