函数为多项式，处处可微，$z_x=2ax$，$z_y=2by$，故 $\nabla z(3,4)=(6a,8b)$。方向导数的最大值等于梯度的模，且取得最大值的方向与梯度同向。因此存在 $k>0$，使 $(6a,8b)=k(-3,-4)$，从而 $a=b=-\frac{k}{2}<0$。
由最大值为 $10$，得

结合 $a<0$，得 $a=b=-1$。此时梯度为 $(-6,-8)$，与给定方向同向，模确为 $10$。

由（1），曲面为 $z=2-x^2-y^2$。条件 $z\ge 0$ 给出投影区域 $D:x^2+y^2\le 2$。因 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，曲面面积为

令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，面积元为 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$；积分范围为 $0\le \theta \le 2\pi$，$0\le r\le \sqrt{2}$。于是

再令 $u=1+4r^2$，则 $\mathrm{d}u=8r\mathrm{d}r$，上下限变为 $1,9$，故