（1）先消参。$t\ge 0$ 时 $x=3t$，$t<0$ 时 $x=t$，所以参数到横坐标一一对应，且同号。代入 $y$ 得

两侧函数值均趋于 $0=f(0)$，所以 $f$ 在 $0$ 连续，其他点也连续。
（2）用定义求分段点导数。右差商为 $\frac{1}{3}\sin (\frac{x}{3})\to 0$，左差商为 $-\sin x\to 0$，故 $f^{\prime }(0)=0$。对非零点求导得

两侧导数极限均为 $0$，与 $f^{\prime }(0)$ 相等，因此 $f^{\prime }$ 连续。
（3）再对 $f^{\prime }$ 在 $0$ 求左右导数：右侧差商为 $\frac{\sin (\frac{x}{3})}{(3x)}+\frac{\cos (\frac{x}{3})}{9}\to \frac{2}{9}$；左侧差商为 $-\frac{\sin x}{x}-\cos x\to -2$。二者不相等，所以 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，选 C。
这里 $x(t)$ 在 $0$ 不可导，不能直接套参数求导公式；但 $y(t)=|t|\sin t$ 在 $0$ 实际可导，导数为零。一般仅有 $f(x)=a{x}^2+o(x^2)$ 也不足以推出二阶导数存在，本题用 $f^{\prime }$ 的差商完成判断。