令 $c_n=[\frac{(3+(-1{)}^n)}{4}{]}^n$。若 $n$ 为偶数，$c_n=1$；若 $n$ 为奇数，$c_n=2^{-n}$，因此系数比值的极限不存在。
令 $t=x^2\ge 0$，原级数成为 $\sum c_n{t}^n$。由

知关于 $t$ 的收敛半径为 $1$。回到 $x$，内部条件为 $x^2<1$，即 $|x|<1$。
当 $x=\pm 1$ 时，通项为 $c_n$，其中偶数项子列恒为 $1$，不趋于零，两端均发散。因此收敛域为 $(-1,1)$，选 D。
也可直接验证：$|x|<1$ 时 $0\le c_n{x}^{2n}\le |x{|}^{2n}$，被收敛等比级数控制；$|x|\ge 1$ 时偶数下标的通项为 $x^{4k}\ge 1$，故发散。