由于属于不同特征值的特征向量线性无关，$x_1,x_2$ 线性无关，因而 $x_1+x_2\ne 0$。

反设 $x_1+x_2$ 是 $A$ 的特征向量，设其对应特征值为 $\lambda$。则

另一方面，由 $A{x}_1={\lambda }_1{x}_1$、$A{x}_2={\lambda }_2{x}_2$，可得

由 $x_1,x_2$ 线性无关，必有 ${\lambda }_1-\lambda =0$ 且 ${\lambda }_2-\lambda =0$，从而 ${\lambda }_1={\lambda }_2$，与题设矛盾。因此 $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。