沿 $\lambda E-A$ 的第一行展开，得到

故 $A$ 的全部特征值为 $1,a+2,a-2$，均为实数，$m(A)=\max \{1,a+2\}$。
对 $\lambda E-B$，第一行减第三行可提出因子 $\lambda -a-1$，再把第一列加到第三列，得

所以 $B$ 的全部特征值为 $a+1,2,a-1$，也均为实数，$m(B)=\max \{2,a+1\}$。
按两个最大值的分界点 $a=-1,1$ 分类。当 $a<-1$ 时，$m(A)=1<m(B)=2$，全部成立。当 $-1\le a<1$ 时，不等式为 $a+2<2$，得 $-1\le a<0$。当 $a\ge 1$ 时，不等式为 $a+2<a+1$，无解。
合并得到 $a<0$，即 $a\in (-\infty ,0)$。在 $a=0$ 时两个最大特征值都为 $2$，不满足严格不等式，故端点排除。