1987 · 数学一 · 第 18 题 · 填空题

设在一次试验中事件

A

发生的概率为

p

，现进行

n

次独立试验。
事件

A

至少发生一次的概率为。
事件

A

至多发生一次的概率为。

答案

第 1 空： $1 - (1 - p)^{n}$

第 2 空： $(1 - p)^{n} + n p (1 - p)^{n - 1}$

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第 1 空：

“至少发生一次”的对立事件是 $n$ 次试验中一次也不发生。独立性给出一次也不发生的概率为 $(1 - p)^{n}$ ，故所求概率为 $1 - (1 - p)^{n}$ 。

第 2 空：

至多发生一次包括恰好零次和恰好一次。两种互斥情形的概率分别为 $(1 - p)^{n}$ 与 $(1 n) p (1 - p)^{n - 1} = n p (1 - p)^{n - 1}$ 。相加即得 $(1 - p)^{n} + n p (1 - p)^{n - 1}$ 。