$\frac{3}{4}$

由全概率公式，

给定 $X=i$ 时，$Y\sim U(0,i)$，其条件分布函数在 $y<0$ 时为 $0$，在 $0\le y<i$ 时为 $\frac{y}{i}$，在 $y\ge i$ 时为 $1$。
因此 $0\le y<1$ 时，两项均处在上升段，加权和为 $(\frac{1}{2})y+(\frac{1}{2})(\frac{y}{2})=\frac{3y}{4}$；$1\le y<2$ 时，第一项的条件分布函数已达到 $1$，加权和为 $\frac{1}{2}+\frac{y}{4}$。补齐区间外取值，得到

在 $0,1,2$ 三个分界点均连续；混合后的分布并非 $U(0,2)$。

均匀分布条件期望为 $E(Y\mid X=i)=\frac{i}{2}$。由全期望公式，

对第一问分布函数分段求导，密度在 $(0,1)$ 上为 $\frac{3}{4}$，在 $(1,2)$ 上为 $\frac{1}{4}$，其余为零。因此