1991 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

求定积分

I = \int_{- 1}^{1} (2 x + ∣ x ∣ + 1)^{2} d x

。

答案

$\frac{22}{3}$

当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $∣ x ∣ = - x$ ，被积函数为 $(x + 1)^{2}$ ；当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $∣ x ∣ = x$ ，被积函数为 $(3 x + 1)^{2}$ 。

因此

I = \int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} d x + \int_{0}^{1} (3 x + 1)^{2} d x = \frac{1}{3} + \int_{0}^{1} (9 x^{2} + 6 x + 1) d x = \frac{1}{3} + 7 = \frac{22}{3} .