积分区域为 $-1\le x\le 1$，$|x|\le y\le \sqrt{2-x^2}$。它等价于 $y\ge |x|$、$x^2+y^2\le 2$，因为后两条件自动推出 $2x^2\le 2$。因此区域是半径 $\sqrt{2}$、极角 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{3\pi }{4}$ 的扇形。
令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，连同面积元，积分变为

$$I=\left({\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\sin \theta \mathrm{d}\theta \right)\left({\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\sin r\mathrm{d}r\right).$$

角积分为 $[-\cos \theta {]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}=\sqrt{2}$。径向积分两次分部：

$$\begin{array}{rl}\int r^2\sin r\mathrm{d}r& =-r^2\cos r+2\int r\cos r\mathrm{d}r\\ & =-r^2\cos r+2r\sin r+2\cos r+C.\end{array}$$

在 $r=\sqrt{2}$ 处，两个余弦项相消；在 $r=0$ 处原函数值为 $2$，故

$${\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\sin r\mathrm{d}r=2\sqrt{2}\sin \sqrt{2}-2.$$

最后得 $I=\sqrt{2}(2\sqrt{2}\sin \sqrt{2}-2)=4\sin \sqrt{2}-2\sqrt{2}$。