2013 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{θ ^{2}}{x ^{3}} e^{- \frac{θ}{x}}, 0, x > 0, 其他,

其中

θ > 0

为未知参数，

X_{1}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。

答案

$θ_{M} = X$ 。

$θ_{L} = \frac{2 n}{i = 1 \sum n X _{i}^{- 1}}$ 。

$X$ 非负，用一阶矩即可。令 $t = \frac{θ}{x}$ ，则 $\frac{d x}{x ^{2}} = - \frac{d t}{θ}$ ；当 $x$ 从 $0$ 到 $+ \infty$ 时， $t$ 从 $+ \infty$ 到 $0$ 。因此

E (X) = θ^{2} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} e^{- \frac{θ}{x}} d x = θ \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = θ .

令总体一阶矩等于样本均值，得到 $θ_{M} = X = n^{- 1} i \sum X_{i}$ 。此估计量几乎必然为正。题中二阶矩发散，但一阶矩有限，使用一阶矩估计没有障碍。

样本观测值 $x_{i} > 0$ 几乎必然成立。由独立同分布条件，似然函数为

L (θ) = θ^{2 n} (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{- 3}) exp (- θ i = 1 \sum n x_{i}^{- 1}), θ > 0.

取对数，得 $ℓ (θ) = 2 n ln θ - 3 i \sum ln x_{i} - θ i \sum x_{i}^{- 1}$ ，故

ℓ^{'} (θ) = \frac{2 n}{θ} - i = 1 \sum n x_{i}^{- 1}, ℓ^{''} (θ) = - \frac{2 n}{θ ^{2}} < 0.

唯一驻点 $θ = \frac{2 n}{i \sum x _{i}^{- 1}} > 0$ 处于参数空间内，严格凹性保证它是唯一最大值点。因此

θ_{L} = \frac{2 n}{i = 1 \sum n X _{i}^{- 1}} .

它为样本调和平均的两倍，与矩估计量一般不同。