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设
n
阶矩阵
A
和
B
满足条件
A
+
B
=
A
B
。
(1) 证明
A
−
E
为可逆矩阵，其中
E
是
n
阶单位矩阵；
(2) 已知
B
=
1
2
0
−
3
1
0
0
0
2
，求矩阵
A
。
答案
第 1 问
证明见解析
第 2 问
A
=
1
−
3
1
0
2
1
1
0
0
0
2
解析
第 1 问
由
A
+
B
=
A
B
得
(
A
−
E
)
(
B
−
E
)
=
A
B
−
A
−
B
+
E
=
E
.
因此
∣
A
−
E
∣∣
B
−
E
∣
=
1
,
从而
∣
A
−
E
∣
=
0
。故
A
−
E
可逆，并且其逆矩阵为
B
−
E
。
第 2 问
由第一问
(
A
−
E
)
−
1
=
B
−
E
,
可得
A
=
E
+
(
B
−
E
)
−
1
.
这里
B
−
E
=
0
2
0
−
3
0
0
0
0
1
,
(
B
−
E
)
−
1
=
0
−
3
1
0
2
1
0
0
0
0
1
.
所以
A
=
1
−
3
1
0
2
1
1
0
0
0
2
.