由 $y^2\le x$、$x^2\le y$，知 $x,y\ge 0$。边界 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 交于 $(0,0)$、$(1,1)$，因此 $D=\{(x,y):0\le x\le 1,x^2\le y\le \sqrt{x}\}$。交换 $x,y$ 后原不等式组不变，故区域关于 $y=x$ 对称。
展开 $(x-y+1{)}^2=(x-y{)}^2+2(x-y)+1$，其中 $x-y$ 交换变量后反号，积分为零。又由对称性 ${\iint }_D{y}^2\mathrm{d}\sigma ={\iint }_D{x}^2\mathrm{d}\sigma$，故

分别计算三个积分：

因此 ${\iint }_D(x-y{)}^2\mathrm{d}\sigma =\frac{6}{35}-\frac{1}{6}=\frac{1}{210}$，所求 $I=\frac{1}{210}+\frac{1}{3}=\frac{71}{210}$。