1987 · 数学一 · 第 20 题 · 填空题

已知连续随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{π} e^{- x^{2} + 2 x - 1}

。

X

的数学期望为。

X

的方差为。

答案

第 1 空： $1$

第 2 空： $\frac{1}{2}$

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第 1 空：

指数部分为 $- x^{2} + 2 x - 1 = - (x - 1)^{2}$ ，故密度关于 $x = 1$ 对称。与正态密度比较可知均值参数为 $μ = 1$ ，因此 $E (X) = 1$ 。

第 2 空：

正态密度写作

\frac{1}{2 π σ} exp (- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}) .

与 $π^{- \frac{1}{2}} exp (- (x - 1)^{2})$ 比较，得 $\frac{1}{( 2 σ ^{2} )} = 1$ ，所以 $Var (X) = σ^{2} = \frac{1}{2}$ 。