真题库

假设矩阵$A$和$B$满足如下关系式$AB=A+2B$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)$，求矩阵$B$。

与两直线$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1+t\\ z=2+t\end{array}$及$\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$都平行，且过原点的平面方程为 。

已知连续随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2+2x-1}$。
$X$的数学期望为 。
$X$的方差为 。

有三个箱子：第一个箱子中有$4$个黑球、$1$个白球；第二个箱子中有$3$个黑球、$3$个白球；第三个箱子中有$3$个黑球、$5$个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出$1$个球。
这个球为白球的概率为 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解线性方程组$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+4x_3-3x_4=-4,\\ x_1+x_3-x_4=-3,\\ 3x_1+x_2+x_3=1,\\ 7x_1+7x_3-3x_4=3.\end{array}$。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$均发散，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$也必发散（　　）。

设$D$是曲线$y=\sin x+1$与三条直线$x=0$，$x=\pi$，$y=0$围成的曲边梯形。求$D$绕$x$轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V$。

求不定积分$\int \frac{x\mathrm{d}x}{x^4+2x^2+5}$。

已知离散型随机变量$X$的概率分布为：$P\{X=1\}=0.2,P\{X=2\}=0.3,P\{X=3\}=\mathrm{0.5.}$

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1})$。

设常数$k>0$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{k+n}{n^2}$（　　）。

已知随机变量$Y$的概率密度为$f(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2y}{a^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{a^2}},& y>0,\\ 0,& y\le 0,\end{array}$求随机变量$Z=\frac{1}{Y}$的数学期望$E(Z)$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上可微，对于$[0,1]$上的每一个$x$，$f(x)$的值都在开区间$(0,1)$内，且$f^{\prime }(x)\ne 1$。证明：在$(0,1)$内有且仅有一个$x$，使$f(x)=x$。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }x(8y+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲线$\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}\\ x=0\end{array}$（$1\le y\le 3$）绕$y$轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与$y$轴正向的夹角恒大于$\frac{\pi }{2}$。

若$g(x)$在$x=c$处二阶导数存在，且$g^{\prime }(c)=0$，$g^{\prime \prime }(c)<0$。证明$g(c)$为$g(x)$的一个极大值。

下列广义积分中，收敛的是（　　）。

求微分方程$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x-y$满足条件$y{|}_{x=\sqrt{2}}=0$的解。

假设某产品的总成本函数为$C(x)=400+3x+\frac{1}{2}{x}^2$，而需求函数为$p=\frac{100}{\sqrt{x}}$，其中$x$为产量（假定等于需求量），$p$为价格。

计算二重积分$I={\iint }_D{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是第一象限中由直线$y=x$和$y=x^3$所围成的封闭区域。

设$L$为取正向的圆周$x^2+y^2=9$，则曲线积分${\oint }_L(2xy-2y)\mathrm{d}x+(x^2-4x)\mathrm{d}y$的值为 。