1987 · 数学一 · 第 19 题 · 填空题

有三个箱子：第一个箱子中有

4

个黑球、

1

个白球；第二个箱子中有

3

个黑球、

3

个白球；第三个箱子中有

3

个黑球、

5

个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出

1

个球。
这个球为白球的概率为。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。

答案

第 1 空： $\frac{53}{120}$

第 2 空： $\frac{20}{53}$

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第 1 空：

记 $W$ 为取到白球的事件。三个箱子被选中的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，各箱取到白球的条件概率依次为 $\frac{1}{5}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{5}{8}$ 。由全概率公式，

P (W) = \frac{1}{3} (\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{5}{8}) = \frac{53}{120} .

第 2 空：

沿用第一个空的白球事件 $W$ 及 $P (W) = \frac{53}{120}$ 。记 $B_{2}$ 为选中第二箱。则 $P (B_{2} \cap W) = (\frac{1}{3}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6}$ 。由贝叶斯公式，

P (B_{2} ∣ W) = \frac{P ( B _{2} \cap W )}{P ( W )} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{53}{120}} = \frac{20}{53} .