1987 · 数学一 · 第 4 题 · 填空题

设

L

为取正向的圆周

x^{2} + y^{2} = 9

，则曲线积分

\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y

的值为。

答案

$- 18 π$

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令 $P = 2 x y - 2 y$ ， $Q = x^{2} - 4 x$ 。圆周取正向，可用格林公式：

\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A .

被积函数为 $(2 x - 4) - (2 x - 2) = - 2$ 。区域 $D$ 是半径为 3 的圆盘，面积为 $9 π$ ，故积分值为 $- 2 \cdot 9 π = - 18 π$ 。