函数定义域为 $x\ne 0$，在其定义域内连续。
（1）当 $x\to \pm \infty$ 时，$e^{\frac{1}{x}}\to 1$，故 $x{e}^{\frac{1}{x}}$ 在正无穷方向趋于 $+\infty$，在负无穷方向趋于 $-\infty$。两端均无有限函数极限，因此没有水平渐近线。
（2）有限位置只需检查 $x=0$。当 $x\to 0^{+}$ 时，令 $t=\frac{1}{x}\to +\infty$，由洛必达法则，

也可由 $e^t>\frac{t^2}{2}$（$t>0$）直接得到 $\frac{e^t}{t}>\frac{t}{2}\to +\infty$。当 $x\to 0^{-}$ 时，$x\to 0$、$e^{\frac{1}{x}}\to 0$，故 $x{e}^{\frac{1}{x}}\to 0$。竖直渐近线只需一侧函数值趋于无穷，故 $x=0$ 仍是铅直渐近线。
因此无水平渐近线、有铅直渐近线，选 C。另外，$x{e}^{\frac{1}{x}}-x=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}\to 1$（$x\to \pm \infty$），所以还有斜渐近线 $y=x+1$，但它不属于水平渐近线。