1989 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

已知

z = f (u, v)

，

u = x + y

，

v = x y

，且

f (u, v)

的二阶偏导数都连续。求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$f_{uu} + (x + y) f_{uv} + x y f_{v v} + f_{v}$

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由 $u_{x} = 1$ 、 $v_{x} = y$ ，先得 $z_{x} = f_{u} + y f_{v}$ 。

再对 $y$ 求偏导： $(f_{u})_{y} = f_{uu} + x f_{uv}$ ，而 $(y f_{v})_{y} = f_{v} + y (f_{v u} + x f_{v v})$ 。

因二阶偏导连续， $f_{v u} = f_{uv}$ 。所以 $z_{x y} = f_{uu} + (x + y) f_{uv} + x y f_{v v} + f_{v}$ ，其中各偏导均在 $(u, v) = (x + y, x y)$ 处取值。