1992 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算

I = \int \frac{arccot e ^{x}}{e ^{x}} d x

。

答案

$- e^{- x} arccot e^{x} + \frac{1}{2} ln (1 + e^{- 2 x}) + C$

令 $t = e^{- x} > 0$ ，则 $arccot e^{x} = arctan t$ ，且 $e^{- x} d x = - d t$ 。

于是

I = - \int arctan t d t = - t arctan t + \frac{1}{2} ln (1 + t^{2}) + C .

代回 $t = e^{- x}$ ，得 $I = - e^{- x} arccot e^{x} + \frac{1}{2} ln (1 + e^{- 2 x}) + C$ 。