1991 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

在电源电压不超过

200

伏、在

200

—

240

伏和超过

240

伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为

0.1, 0.001, 0.2

。假设电源电压

X

服从正态分布

N (220, 2 5^{2})

。附表中

Φ (x)

是标准正态分布函数：

$x$	$0.10$	$0.20$	$0.40$	$0.60$	$0.80$	$1.00$	$1.20$	$1.40$
$Φ (x)$	$0.530$	$0.579$	$0.655$	$0.726$	$0.788$	$0.841$	$0.885$	$0.919$

答案

$α = 0.064176$

$β = \frac{12}{1337} \approx 0.00898$

标准化得

\frac{200 - 220}{25} = - 0.8, \frac{240 - 220}{25} = 0.8.

由表中 $Φ (0.8) = 0.788$ ，有

P (X \leq 200) = P (X > 240) = 1 - 0.788 = 0.212,

以及

P (200 < X \leq 240) = 2 \times 0.788 - 1 = 0.576.

设 $D$ 表示元件损坏。由全概率公式，

α = P (D) = 0.1 \times 0.212 + 0.001 \times 0.576 + 0.2 \times 0.212 = 0.064176.

沿用第一问中表示元件损坏的事件 $D$ 及各电压区间的概率。由条件概率公式，元件损坏时电压在 $200$ 至 $240$ 伏的概率为

β = P (200 < X \leq 240 ∣ D) = \frac{P ( D ∣ 200 < X \leq 240 ) P ( 200 < X \leq 240 )}{P ( D )} = \frac{0.001 \times 0.576}{0.064176} = \frac{12}{1337} \approx 0.00898.