真题库

设数列的通项为$x_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n},& \text{若 }n\text{ 为奇数}\\ \frac{1}{n},& \text{若 }n\text{ 为偶数}\end{array}$，则当$n\to \infty$时，$x_n$是（　　）。

在电源电压不超过$200$伏、在$200$—$240$伏和超过$240$伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为$0.1,0.001,0.2$。假设电源电压$X$服从正态分布$N(220,25^2)$。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

求$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$。

曲线$L_1:y=1-x^2$（$0\le x\le 1$）、$x$轴和$y$轴所围区域被曲线$L_2:y=a{x}^2$分为面积相等的两部分，其中$a$是大于零的常数，试确定$a$的值。

设$\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=\cos t\end{array}$，则$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=$ 。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cos \sqrt{x}{)}^{\frac{\pi }{x}}$。

设有三维列向量${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1+\lambda \end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}0\\ \lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)$。

设$0\le a_n<\frac{1}{n}$（$n=1,2,\cdots$），则下列级数中肯定收敛的是（　　）。

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以$X$表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求$X$的概率分布。

已知当$x\to 0$时，$(1+a{x}^2{)}^{\frac{1}{3}}-1$与$\cos x-1$是等价无穷小，则常数$a=$ 。

求微分方程$xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+y^2$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=2\mathrm{e}$的特解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y=x+\cos x$的通解。

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以$X$表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数。

设随机事件$A$、$B$及其和事件$A\cup B$的概率分别是$0.4$、$0.3$和$0.6$。若$\overline{B}$表示$B$的对立事件，那么积事件$A\overline{B}$的概率$P(A\overline{B})=$ 。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^{\prime }(\xi )>0$。

过点$M(1,2,-1)$且与直线$\{\begin{array}{l}x=-t+2\\ y=3t-4\\ z=t-1\end{array}$垂直的平面方程是 。

设方阵$A$满足$A^{T}A=E$，其中$A^T$是$A$的转置矩阵，$E$为单位阵。证明$A$的特征值的绝对值等于$1$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{ax}$的通解，其中$a$为实数。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$上对应于$t=\frac{\pi }{6}$的点处的法线方程是 。