真题库

设四阶矩阵$B=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 4\\ 0& 2& 1& 3\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right)$，且矩阵$A$满足关系式$A(E-C^{-1}B{)}^{\prime }{C}^{\prime }=E$，其中$E$为四阶单位矩阵，$C^{-1}$表示$C$的逆矩阵，$C^{\prime }$表示$C$的转置矩阵。

已知随机变量$X$的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|}$，$-\infty <x<+\infty$，则$X$的概率分布函数$F(x)=$ 。

若线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-a_1\\ x_2+x_3=a_2\\ x_3+x_4=-a_3\\ x_4+x_1=a_4\end{array}$有解，则常数$a_1,a_2,a_3,a_4$应满足条件 。

设$y={\mathrm{e}}^{\tan \frac{1}{x}}\sin \frac{1}{x}$，则$y^{\prime }=$ 。

甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为$0.2$，乙的命中率为$0.5$。以$X$和$Y$分别表示甲和乙的命中次数，求$X$和$Y$的联合概率分布。

求微分方程$y^{\prime }+y\cos x=(\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}$的通解。

已知随机变量$X\sim N(-3,1)$，$Y\sim N(2,1)$，且$X,Y$相互独立。设随机变量$Z=X-2Y+7$，则$Z\sim$ 。

积分${\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_x^2{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y=$ 。

设$\alpha$为常数，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{\sin n\alpha }{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}})$（　　）。

证明：当$x>0$时，有不等式$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$。

设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D:0<x<1,|y|<x$内服从均匀分布，并令$Z=2X+1$。

设函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x},& x\ne 0\\ f(0),& x=0\end{array}$，其中$f(x)$在$x=0$处可导，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f(0)=0$，则$x=0$是$F(x)$的（　　）。

极限$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})=$ 。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，则$\mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]$等于（　　）。

设函数$f(x)$有连续的导函数，$f(0)=0,f^{\prime }(0)=b$。若函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)+a\sin x}{x},& x\ne 0\\ A,& x=0\end{array}$在$x=0$处连续，则常数$A=$ 。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

计算二重积分${\iint }_{D}x{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是曲线$y=4x^2$和$y=9x^2$在第一象限所围成的区域。

设$a$为非零常数，则$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+a}{x-a}{)}^x=$ 。

已知函数$f(x)$具有任意阶导数，且$f^{\prime }(x)=[f(x){]}^2$，则当$n$为大于$2$的正整数时，$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$是（　　）。

一电子仪器由两个部件构成，以$X$和$Y$分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）。已知$X$和$Y$的联合分布函数为$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-0.5x}-{\mathrm{e}}^{-0.5y}+{\mathrm{e}}^{-0.5(x+y)},& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。