真题库

设随机变量$X$和$Y$相互独立，其概率分布如下表，则下列式子正确的是（　　）。

某公司可通过电台及报纸两种形式为某种商品做销售广告。根据统计资料，销售收入$R$（万元）与电台广告费用$x_1$（万元）及报纸广告费用$x_2$（万元）之间有如下经验公式：$R=15+14x_1+32x_2-8x_1{x}_2-2x_1^2-10x_2^2$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|\le 1\\ 0,& |x|>1\end{array}$，则$f[f(x)]=$ 。

已知对于$n$阶方阵$A$，存在自然数$k$，使得$A^k=0$，其中$E$为$n$阶单位阵。

证明不等式$1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})\ge \sqrt{1+x^2}$，其中$-\infty <x<+\infty$。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x^2}{x+1}-ax-b)=0$，其中$a,b$是常数，则（　　）。

曲线$y=x^2$与直线$y=x+2$所围成的平面图形的面积为 。

求曲线$y=\frac{1}{1+x^2}$（$x>0$）的拐点。

设$A$为$10\times 10$矩阵$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 10^{10}& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，计算行列式$|A-\lambda E|$，其中$E$为$10$阶单位矩阵，$\lambda$为常数。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=b\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2\end{array}$，回答下列问题。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{-2x}$的通解（一般解）。

已知离散型随机变量$X$服从参数为$2$的泊松（Poisson）分布，即$P\{X=k\}=\frac{2^k{\mathrm{e}}^{-2}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$，则随机变量$Z=3X-2$的数学期望$E(Z)=$ 。

给定幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^n$。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+a}{x-a}{)}^x=9$，求常数$a$。

已知向量组${\alpha }_1=(1,2,3,4)$，${\alpha }_2=(2,3,4,5)$，${\alpha }_3=(3,4,5,6)$，${\alpha }_4=(4,5,6,7)$，则该向量组的秩是 。

设函数$f(x)$对任意$x$均满足等式$f(1+x)=af(x)$，且有$f^{\prime }(0)=b$，其中$a,b$为非零常数，则（　　）。

求曲面积分$I={\iint }_{S}yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x+2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是球面$x^2+y^2+z^2=4$外侧在$z\ge 0$的部分。

某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为$72$分，$96$分以上的占考生总数的$2.3\%$。求考生的外语成绩在$60$分至$84$分之间的概率。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

求由方程$2y-x=(x-y)\ln (x-y)$所确定的函数$y=y(x)$的微分$\mathrm{d}y$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。