2026 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

先由等比级数求和，题给各概率之和为 $\frac{( \frac{1}{4} )}{( 1 - \frac{1}{2} )} + \frac{( \frac{1}{3} )}{( 1 - \frac{1}{3} )} = 1$ 。对整数 $r \geq 0$ ，尾概率为

a_{r} = P {X > r} = k = r + 1 \sum \infty (\frac{1}{2 ^{k + 1}} + \frac{1}{3 ^{k}}) = \frac{2 ^{- (r + 2)}}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{3 ^{- (r + 1)}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} (2^{- r} + 3^{- r}) .

记 $u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{r} = \frac{( u ^{r} + v ^{r} )}{2} > 0$ 。因为 $n \geq 1$ ，事件 ${X > m + n}$ 包含于 ${X > m}$ ，所以

P {X > m + n ∣ X > m} = \frac{a _{m + n}}{a _{m}} .

比较它与 $a_{n}$ ，只需判断 $a_{m + n} - a_{m} a_{n}$ 的符号：

a_{m + n} - a_{m} a_{n} = \frac{2 ( u ^{m + n} + v ^{m + n} ) - ( u ^{m} + v ^{m} ) ( u ^{n} + v ^{n} )}{4} = \frac{u ^{m + n} - u ^{m} v ^{n} - u ^{n} v ^{m} + v ^{m + n}}{4} = \frac{( u ^{m} - v ^{m} ) ( u ^{n} - v ^{n} )}{4} > 0.

最后一步用到 $u > v > 0$ 及 $m, n$ 均为正整数。因此 $\frac{a _{m + n}}{a _{m}} > a_{n} = P {X > n}$ ，选 D，B 的等号不成立。
对 A，取 $m = n = 1$ ，有 $a_{1} = \frac{5}{12}, a_{2} = \frac{13}{72}$ ，于是 $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{13}{30} \neq = \frac{5}{12}$ 。对 C，固定 $m = 1$ ，让正整数 $n$ 充分大，则 $\frac{a _{n + 1}}{a _{1}} \to 0$ ，必小于正数 $a_{1}$ ，故其不等式也非恒成立。本分布是两种不同几何分布的混合，不能直接套单一几何分布的无记忆性。

答案