（1）设非齐次方程为 $L[y]=y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$，其中 $f\not\equiv 0$。由题设 $L[y_1]=L[y_2]=f$，利用线性性，任意常数 $c_1,c_2$ 满足

（2）第一项组合是原方程的解，因此 $(2\lambda +\mu -1)f\equiv 0$；因 $f$ 不恒为零，必有 $2\lambda +\mu =1$。第二项组合是齐次解，因此 $(\lambda -2\mu )f\equiv 0$，同理得 $\lambda -2\mu =0$。这里不需要假设 $f$ 处处非零，也不需要将等式逐点除以 $f$。
（3）由 $\lambda =2\mu$ 代入第一式得 $5\mu =1$，故 $\mu =\frac{1}{5},\lambda =\frac{2}{5}$，选 B。代回有 $2\lambda +\mu =\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$、$\lambda -2\mu =\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0$，两个条件均满足。
（4）A 的 $2\lambda +\mu =\frac{4}{5}\ne 1$；C 虽满足第一个条件，但 $\lambda -2\mu =-\frac{3}{4}\ne 0$；D 的 $2\lambda +\mu =\frac{5}{4}\ne 1$，均不符合。