二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 2\\ 2& a& 2\\ 2& 2& a\end{array}\right)=(a-2)E+2J$，其中 $J$ 为三阶全 $1$ 矩阵。$J$ 对向量 $(1,1,1{)}^T$ 的特征值为 $3$，在平面 $x_1+x_2+x_3=0$ 上的特征值为 $0$，所以 $A$ 的全部特征值为 $a+4,a-2,a-2$。
通过正交变换，曲面方程化为

圆柱面须恰有一个零特征值，另两个非零特征值相等且与右端同为负。出现零特征值只可能有 $a=-4$ 或 $a=2$。
当 $a=-4$ 时，特征值为 $0,-6,-6$，方程化为 $y_2^2+y_3^2=\frac{1}{6}$，确为圆柱面。将非零项对应的坐标排在前面，二次型的正交标准形为 $-6y_1^2-6y_2^2$。
当 $a=2$ 时，特征值为 $6,0,0$，方程为 $6y_1^2=-1$，无实点，不是圆柱面。其他 $a$ 的三个特征值均非零，也不可能表示柱面。因此选 B。
$a=-4$ 时秩为 $2$，负惯性指数为 $2$，规范形为 $-y_1^2-y_2^2$，不能写成三个负平方项；这也排除了 A。